矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,若OE:ED=1:3,AE=3,则BD= _ .
题目
矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,若OE:ED=1:3,AE=
,则BD= ___ .
答案
如图(一)所示,
AB是矩形较短边时,
∵矩形ABCD,
∴OA=OD=
BD;
∵OE:ED=1:3,
∴可设OE=x,ED=3x,则OD=2x
∵AE⊥BD,AE=
,
∴在Rt△OEA中,x
2+(
)
2=(2x)
2,
∴x=1
∴BD=4.
当AB是矩形较长边时,如图(二)所示,
∵OE:ED=1:3,
∴设OE=x,则ED=3x,
∵OA=OD,
∴OA=4x,
在Rt△AOE中,x
2+(
)
2=(4x)
2,
∴x=
,
∴BD=8x=8×
=
.
故答案为:4或
.
由于AB为矩形的长边或短边不能确定,所以应分两种情况进行讨论:
AB是矩形较短边时可设出OE=x,ED=3x,然后在直角三角形OEA中利用勾股定理进行求解;
当AB是矩形较长边时,设OE=x,则ED=3x,在Rt△AOE中利用勾股定理可求出x的值,进而得出结论.
矩形的性质;勾股定理.
本题的关键是设出未知数,利用勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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