已知tanA、tanB是方程X^2-3X-3=0的两根,试求(sin(A+B))^2-3sin(A+B)cos(A+B)-3(cos(A+B))^2的值.

题目

已知tanA、tanB是方程X^2-3X-3=0的两根,试求(sin(A+B))^2-3sin(A+B)cos(A+B)-3(cos(A+B))^2的值.
注：如3（cos(A+B))^2是说3乘以cos(A+B)的平方.

答案

由韦达定理:
tanA+tanB=3
tanAtanB=-3
所以tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=3/4
原式=[(sin(A+B))^2-3sin(A+B)cos(A+B)-3(cos(A+B))^2]/[(sin(A+B))^2+(cos(A+B))^2]
=[(tan(A+B))^2-3tan(A+B)-3]/[(tan(A+B))^2+1](分子分母同时除以(cos(A+B))^2)
=(9/16-9/4-3)/(9/16+1)
=-3