如图,已知直线AB与x轴交于点A(6,0),与y轴交于B(0,10)点,点M的坐标为(0,4),点P(x,y

题目

如图,已知直线AB与x轴交于点A(6,0),与y轴交于B(0,10)点,点M的坐标为(0,4),点P(x,y
如图,已知直线AB与x轴交于A(6,0)点,与y轴交于B(0,10)点,点M的坐标为(0,4),点P(x,y)是折线O→A→B的动点(不与O点、B点重合),连接OP、MP,设△OPM的面积为S．
当△OPM是以OM为底边的等腰三角形时,求S的值；
当线段MP分△OAB的面积比为1∶4时,求P点坐标

答案

设直线AB的方程为y=kx+b,把点A(6,0)和点B(0,10)代入方程中,
0=6x+b, 10=0+b 解得,k=-5/3,b=10
所以直线AB的方程为y=-5/3+10
(1)当△OPM是以OM为底边的等腰三角形时,PM=OP
因为PM^2=(x-0)^2+(y-4)^2,OP^2=x^2+y^2,代入上面关系式中,两边平方,得
(x-0)^2+(y-4)^2=x^2+y^2 化简得,(y-4)^2=y^2,解得,y=2
把y=2代入直线AB中,得到P点的x坐标,即等腰三角形△OPM的高
所以S=1/2*OM*Xp=1/2*4*24/5=48/5=9.6
(2)当线段MP分△OAB的面积比为1∶4时,△MPB：△OAB=1：5
因为△MPB=1/2*MB*Xp=1/2*6*Xp=3Xp,△OAB=1/2*OB*OA=1/2*10*6=30,代入上面关系中
所以,1：5=3Xp：30,解得Xp=2,即P点的横坐标为2,
把横坐标代入直线AB中,得到P点的纵坐标为y=-5/3*2+10=20/3
所以P点坐标为(2,20/3)