数列{an}的前n项和sn=100n-n²（n∈N*）.设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和.

题目

数列{an}的前n项和sn=100n-n²（n∈N*）.设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和.

答案

an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100·(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2).

∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,

∴数列{an}的通项公式为an=101-2n(n∈N*).

又an+1-an=-2为常数,

∴数列{an}是首项为a1=99,公差d=-2的等差数令an=101-2n≥0,得n≤50.5.

∵n∈N*,∴n≤50(n∈N*).

①当1≤n≤50时,an>0,此时bn=|an|=an,所以{bn}的前n项和Sn′=100n-n2.

②当n≥51时,an<0,此时bn=|an|=-an,

由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn,

    得数列{bn}的前n项和为

Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2 

500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.

    由①②得数列{bn}的前n项和为Sn′=