设P是正整数,是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数

题目

设P是正整数,

是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数

答案

默认你知道整数环Z是一个主理想整环,即任意理想均具有的形式.
必要性:我们证明若p不是素数,则
不是极大理想.
由p不是素数,存在整数a ≠ ±1,使得a整除p但p不整除a (只要取a为p的非平凡的约数即可).
由a整除p,
包含于,而p不整除a,故a不在
中,
真包含于.
又a ≠ ±1,≠ Z是真包含
的(非平凡)理想,故
不是极大理想.
充分性:即若p是素数,则
是极大理想.
设理想真包含
,有a整除p.
由p是素数,知a = ±1,±p.
而若a = ±p,易见 =
,故a = ±1,得 = Z.
Z中不存在真包含
的(非平凡)理想,即
为极大理想.