设P是正整数,是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数

设P是正整数,是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数

题目
设P是正整数,

是Z的极大理想的充分必要条件是P是素数

答案
默认你知道整数环Z是一个主理想整环,即任意理想均具有的形式.
必要性:我们证明若p不是素数,则
不是极大理想.
由p不是素数,存在整数a ≠ ±1,使得a整除p但p不整除a (只要取a为p的非平凡的约数即可).
由a整除p,
包含于,而p不整除a,故a不在
中,
真包含于.
又a ≠ ±1,≠ Z是真包含
的(非平凡)理想,故
不是极大理想.
充分性:即若p是素数,则
是极大理想.
设理想真包含
,有a整除p.
由p是素数,知a = ±1,±p.
而若a = ±p,易见 =
,故a = ±1,得 = Z.
Z中不存在真包含
的(非平凡)理想,即
为极大理想.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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