在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（　　） A.[1，2] B.(0，2] C.(0，2) D.（0，1]

题目

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D₁P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（　　）
A. [1，

2

]
B. (0，

2

]
C. (0，

2

)
D. （0，1]

答案

如图所示，当0＜AD≤1时，以DC=2为直径的圆与AB 有交点P，连接CP，DP，则CP⊥DP．
∵DD₁⊥底面ABCD，根据三垂线定理，则CP⊥D₁P，满足题意．
故选D．

如图所示，假设棱AB上存在一点P，使得D₁P⊥PC，连接DP，由DD₁⊥底面ABCD，则必有CP⊥DP，因此只要以DC为直径的圆与线段AB有交点即可．

本题考点：棱柱的结构特征．

考点点评：掌握三垂线定理及理解直径所对的圆周角是直角是解题的关键．