如图,在等腰直角△ABC中,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过F作FG⊥CD交BE延长线于G,求证:BG=AF+FG.
题目
如图,在等腰直角△ABC中,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过F作FG⊥CD交BE延长线于G,求证:BG=AF+FG.
答案
证明:过CP∥AB,AF的延长线于P,
易证△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD,
∵∠BAP+∠ABE=90°,∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC,
又∵AB∥PC,
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P.
∵AF⊥BE,∠BAC=90°,
∵∠BAE=∠ACP=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠PAC+∠AEB=90°,
∴∠ABE=∠PAC,
∵AB=AC,
∴△ABE≌△CAP,
∴BE=AP.
∵CP∥AB,∠ACP=90°,∠ACB=45°,
∴∠MCF=∠PCF=45°,
∵
,
∴△MCF≌△PCF,
∴MF=PF,∠P=∠FMC,
又∵∠FMC=∠GME,
∴∠GEM=∠GME,
∴GE=GM,
则BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG.
过C作AB的平行线交AF的延长线于P,证明△ABE≌△CAP,△MCF≌△PCF,得BE=AP.MF=PF,EG=MG,即可推出答案.
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质.
此题考查学生对等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的理解和掌握,解答此题的关键是过C作AB的平行线交AF的延长线于P,证明△ABE≌△ACP,△MCF≌△PCF.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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