如图,三角形ABC的外接圆的直径AE交BC于D,求证:tanB×tanC=AD÷DE

题目

如图,三角形ABC的外接圆的直径AE交BC于D,求证:tanB×tanC=AD÷DE

答案

连接BE,CE
则∠B=∠AEC,∠C=∠AEB,
∵AE为直径,
∴∠ABE=∠ACE=90°
∴tan∠AEC=AC/CE,tan∠AEB=AB/BE
∴tan∠B·tan∠C=tan∠AEC·tan∠AEB=AC/CE×AB/BE
=AC/BE×AB/CE
∵△ACD∽△BED,△ABD∽△CED
∴AC/BE=AD/BD,AB/CE=BD/DE
∴AC/BE×AB/CE=AD/BD×BD/DE=AD/DE
∴tan∠B·tan∠C=AD/DE