一道八年级简单的几何证明题

题目

一道八年级简单的几何证明题
在正方形ABCD中,E为AB上的一点,过E作EF⊥AB交正方形的对角线BD于F.G为DF的中点,连EG、CG,求证：EG⊥CG

答案

证明：取AE中点M,连接AG,GM,则GM为直角梯形的中线,所以GM⊥AE,
由SAS易证得△AGM≌△EGM,所以∠MGE=∠MGA=∠DAG=∠DCG,
设∠MGE=∠MGA=∠DAG=∠DCG=∠1,则∠EGB=∠MGB-∠1=45°-∠1,
∠CGB=∠BDC+∠GCD=45°+∠1,
所以∠EGC=∠EGB+∠CGB=45°-∠1+45°+∠1=90°,
即EG垂直CG.