等比数列与Sn=An2+Bn有什么关系.

题目

等比数列与Sn=An2+Bn有什么关系.
在等差数列中,Sn=An2+Bn是它的充要条件.
那么Sn=An2+Bn与等比数列又有什么关系.
想要一个详细的论证过程.

答案

首先 我想说 不是等比数列,而是等差数列其次给出证明,证明如下：
充分性
由等差数列求和公式可得：
Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2=n(a1-d/2)+n²d/2
即有Sn=An²+Bn
其中A=d/2
B=a1-d/2;
必要性
由Sn=An²+Bn 得：
an=Sn-S(n-1)=A(2n-1)+B=2An+(B-A)
an-a(n-1)=2A
a1=S1=A+B
即数列{an}是以a1=A+B为首项,d=2A为公差的等差数列.
证毕.