设o为坐标原点,直线l经过抛物线x2=4y（x的平方=4y）的焦点F,且与该抛物线交于A,B两点,则向量OA与向量OB的数量积为?

题目

设o为坐标原点,直线l经过抛物线x2=4y（x的平方=4y）的焦点F,且与该抛物线交于A,B两点,则向量OA与向量OB的数量积为?

答案

由题意可知,直线l的斜率必存在且不为0
因为直线l经过抛物线x2=4y（x的平方=4y）的焦点F(0,1)
所以设直线l的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立,得：
x^2-4kx-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则△=16k^2+16>0,x1+x2=4k,x1*x2=-4
所以向量OA*向量OB
=x1*x2+y1*y2
=x1*x2+(kx1+1)*(kx2+1)
=(k^2+1)x1*x2+k(x1+x2)+1
=-4(k^2+1)+k*4k+1
=-3