如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m． （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32； （2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，

题目

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

；
（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

答案

（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=12PC=m2．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所...

（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点，连接OG，证明AO⊥平面BDD₁B₁，说明∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角．在Rt△AOG中，利用直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为3

2

．求出m的值．
（2）点Q应当是A_IC_I的中点，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，通过证明 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，D₁O₁⊥AP．利用三垂线定理推出结论．

本题考点：直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．

考点点评：本题考查直线与平面所成的角，考查直线与平面垂直的判定，三垂线定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．