在三角形ABC中,A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b^2=3ac,求A.

题目

在三角形ABC中,A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b^2=3ac,求A.

答案

2B=A+C
A+C+B=180°
3B=180°
B=60°
A+C=120°
而2b²=3ac
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以2sin²B=3sinAsinC
3/2=3sinAsinC
1/2=sinAsin（120°-A)
=sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)
=√3/2sinAcosA+1/2sin²A
所以,√3sinAcosA+sin²A=1
又sin²A+cos²A=1
所以cos²A=√3sinAcosA
所以√3sinA=cosA或cosA=0
又,sinA/cosA=√3/3
即tanA=√3/3
所以A=30°或90°