如图,在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P,求证:∠BPM=45°.
题目
如图,在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P,求证:∠BPM=45°.
答案
证明:如图,过M作ME∥AN,使ME=AN,连NE,BE,
则四边形AMEN为平行四边形,
∴NE=AM,ME⊥BC,
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90°,BM=AC,
∴△BEM≌△AMC,得BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠4=90°且BE=NE,
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45°,
∵AM∥NE,
∴∠BPM=∠BNE=45°.
可过点M作ME∥AN,使ME=AN,连NE,BE,得出四边形AMEN为平行四边形,再通过求证△BEM≌△AMC,可得出△BEN为等腰直角三角形,进而再利用平行线的性质可得出结论.
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
本题主要考查平行四边形的判定及性质,等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质,能够求解一些简单的应用问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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