设关于x的一元二次方程Anx^2-A(n+1)x+1有两根a与b,且满足6a-2ab+6b=3

题目

设关于x的一元二次方程Anx^2-A(n+1)x+1有两根a与b,且满足6a-2ab+6b=3
(1)试用An表示An+1
(2)求证数列{An-2/3}是等比数列
(3)当A1=7/6时,求数列{An}的通项公式.

答案

a+b=A(n+1)/An,ab=1/An
(1).6a-2ab+6b=3
6(a+b)-2ab=3
6A(n+1)/An-2/An=3
6A(n+1)=3An+2
A(n+1)=(3An+2)/6
(2)A(n+1)=(3An+2)/6
A(n+1)-2/3=1/2*An-1/3=1/2*(An-2/3)
数列{An-2/3}是等比数列,公比q=1/2.
(3)当A1=7/6时
数列{An-2/3}的首项是A1-2/3=1/2
An-2/3=(A1-2/3)*q^(n-1)=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n
An=1/(2^n)+2/3