用数列算的题

题目

用数列算的题
在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数有多少项?

答案

∵能被3整除的整数构成以3为公差的数列；能被4除余数1的整数构成以4为公差的数列.
又：3和4的最小公倍数是12
∴能被3整除且被4除余1的整数构成以12为公差的等差数列.
被3整除且被4除余1的最小自然数是9
∴被3整除且被4除余1的自然数构成以9为首项,以12为公差的等差数列：
通项an=9+12n
设其中在[1000,2000]中的最小项为第x项,最大项为第y项：
9+12x ≥ 1000
9+12y ≤ 2000
x≥82.58,取x=83
y≤165.92,取y=165
y-x+1=165-83+1=83
∴在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数有83项