已知椭圆x^2/16+y^2/4=1（2）求过点M（1,1）弦的中点轨迹方程

题目

已知椭圆x^2/16+y^2/4=1（2）求过点M（1,1）弦的中点轨迹方程

答案

设弦交椭圆于点A（x1,y1）B（x2,y2）
椭圆方程：x²+4y²=16
x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减
(x1²-x2²)+4(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
设中点为P（x,y）
则x1+x2=2x,y1+y2=2y
(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-1)
所以
2x+8y×(y1-y2)/(x1-x2)=0
x+4y×(y-1)/(x-1)=0
x²-x+4y²-4y=0
(X-1/2)²+4(y-1/2)²=5/4即为所求