数学题求过点M（1,0）所作椭圆x^2/4+y^2=1的弦的中点的轨迹方程

题目

数学题求过点M（1,0）所作椭圆x^2/4+y^2=1的弦的中点的轨迹方程

答案

设过点M的直线为x=my+1
代入方程x²+4y²=4
m²y²+2my+1+4y²=4
(m²+4)y²+2my-3=0
y1+y2=-2m/(m²+4)
x1+x2=m(y1+y2)+2=-2m²/(m²+4)+2=8/(m²+4)
设弦中点P（x,y）
x=(x1+x2)/2=4/(m²+4)
y=(y1+y2)/2=-m/(m²+4)
y/x=-m/4
x=my+1
m=(x-1)/y
所以
y/x=(1-x)/4y
x²-x+4y²=0
(x-1/2)²+4y²=1/4