空间中两点高度差H,什么轨迹使静止小球从A最快到B,最短时间多少

题目

空间中两点高度差H,什么轨迹使静止小球从A最快到B,最短时间多少
最好有证明

答案

一楼的轨迹是抛物线中最节约时间的,但还有更节约时间的轨道!这是著名的最速降线问题.
两种方法可以来解决：
一、将其等效为光在折射率竖直方向连续变化的介质中传播轨迹.根据费马定理,利用较初等的微积分就能解决.
二、变分法.此方法是纯数学的,较难.我不详述.
结果轨迹是一条旋轮线.方程为
x=a(Θ-sinΘ) y=a(1-cosΘ)
a为常数Θ为参数
附第一种方法提示：
设A.B点水平距为L,A比B高H.B点处速度与竖直方向夹角为b,由折射定律,任意一点均有：
sinΘ=(h/H)?*sinb
同时平方后将Θ用h关于x的倒数代替,即得一微分方程,再积分即可.