已知数列(an)中,a1=1,n大于等于2时,an=an-1/3an+1+2,求通项an
题目
已知数列(an)中,a1=1,n大于等于2时,an=an-1/3an+1+2,求通项an
分数中那个n+1是下角标,后面那个+2是在分母中的
答案
a[n+1]=2an+3a[n-1] 注:[ ]中的n+1、n-1均为下脚标.两边各加an得:a[n+1]+an=3an+3a[n-1]=3(an+a[n-1])令bn=an+a[n+1],则有:bn=3b[n-1]且b1=a1+a2=4,其中n≥2且n∈N*∴{bn}为等比数列,q=3,首项b1=4bn=4*3^(n-1) 注:^后面的为上标即:an+a[n+1]=4*3^(n-1) (n≥1)移项,变换,右式拆分得:a[n+1]-3^n=-an+3^(n-1)令Cn=an -3^(n-1) 代入上式得:C[n+1]=-Cn∴{Cn}为等比数列,q=-1,C1=a1-1=1Cn=(-1)^(n-1)亦即:an -3^[n-1]=(-1)^(n-1)∴an=3^(n-1) - (-1)^n令n=1,2分别代入得a1=a2=2成立,故有:an=3^(n-1) - (-1)^n (n∈N*) an可以看成2个等比数列的差Sn=1+3+9+……+3^(n-1) -[-1+1-1+……+(-1)^n]前面一部为(3^n -1)/2;后面一部分当n为偶数时,和为0,n为奇数时,和为 1∴ Sn= (3^n -1)/2 (n为偶数)或 Sn= (3^n +1)/2 (n为奇数)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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