复数相关的一元二次方程

题目

复数相关的一元二次方程
设有一个复数z,使得x^2+zx-3=0在R上有实根,求复数Z
请问这个问题应该如何回答?求根公式不能直接用吧?

答案

有实根
则x是实数
z=a+bi,a,b是实数
所以x²+ax+bxi-3=0
(x²+ax-3)+bxi=0
所以x²+ax-3=0,bx=0
b=0或x=0
若x=0,则方程是-3=0,不成立
所以b=0
所以z是实数,z=a
则只要判别式a²+12>=0即可,这个恒成立
所以z取任意实数