设A为任意方阵满足A^2=A,证明2A-I是可逆的并且有自己的可逆矩阵.

题目

设A为任意方阵满足A^2=A,证明2A-I是可逆的并且有自己的可逆矩阵.

答案

∵A^2=A
∴A的特征根为0或1
设R(A)=r
故存在可逆矩阵T 使得A=T^(-1)diag(1,1……,1,0,……,0)T
1的个数等于r.
于是 2A-I＝T^(-1)diag(1,1……,1,-1,……,-1)T
︱2A-I︱=(-1)^r≠0
故2A-I是可逆的.

“并且有自己的可逆矩阵.”这句话是多余的.