若质数p≡3(mod4),且a^2+b^2≡0(modp) 则p能否整除a和b?

题目

若质数p≡3(mod4),且a^2+b^2≡0(modp) 则p能否整除a和b?

答案

当ab=0时,显然p整除a和b,
记x=a^2+b^2,当ab≠0时,x能表示为两个非零整数的平方之和.这说明x的质因数分解里如果含有形同4k+3的质数p时,p的幂次必然是偶数次的（不然无法表为二平方数之和）,并且至少有p^2整除a^2和b^2.于是有p丨a且p丨b.
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