设y=log(1/2)[a^(2x)+2(ab)^x-b^(2x)+1](a>0,b>0),求使y为负值的x的取值范围

题目

设y=log(1/2)[a^(2x)+2(ab)^x-b^(2x)+1](a>0,b>0),求使y为负值的x的取值范围
（1/2）为底数

答案

由已知得
a^2*x + 2(ab)^x - b^2*x + 1> 1
b^2*x [（a/b）^2x +2(a/b)^x-1]> 0
因为a>0,b>0
所以[（a/b）^2x +2(a/b)^x-1]> 0
[(a/b)*x+1-根号2][(a/b)*x+1+根号2]>0
所以(a/b)*x>（根号2）-1或(a/b)*x＜-[（根号2）+1]
又因为a>0,b>0
所以(a/b)*x＜-[（根号2）+1]不合题意,舍
所以(a/b)*x>（根号2）-1
同时取对数
则1）当a>b>0时,(a/b)> 1
则log（a/b）[(a/b)*x]＞log（a/b）[（根号2）-1]
即x＞log（a/b）[（根号2）-1]
2）当b＞a＞0时,(a/b)＜ 1
则log（a/b）[(a/b)*x]＜log（a/b）[（根号2）-1]
即x＜log（a/b）[（根号2）-1]
3）当b=a＞0时,(a/b)＝1
则1^x始终大于log（a/b）[（根号2）-1]
所以x∈R