已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3的单调递减区间为(−1/3，1)，单调递增区间为(−∞，−1/3)和（1，+∞）． （1）求f（x）的解析式； （2）若t∈R，试讨论关于x的方程f（x）=2x

题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+3的单调递减区间为(−

1

3

，1)，单调递增区间为(−∞，−

1

3

)和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若t∈R，试讨论关于x的方程f（x）=2x²+8x+t的实数根的个数．

答案

（1）f'（x）=3x2+2ax+b由题设得f'（x）=0的根为x＝−13或x=1由此求得a=b=-1故f（x）=x3-x2-x+3（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3 x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 ...

（1）由题设得f'（x）=0的根为x＝−

1

3

或x=1，由此求得a=b=-1；
（2）令g（x）=f（x）-（2x²+8x+t），利用导数求出函数g（x）的极大值与极小值，对参数t分类讨论，即可得到函数的零点个数亦即方程的根的个数．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．