已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),向量ab的夹角是60°,则直线xcosα-ysinα+1=0与圆

题目

已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),向量ab的夹角是60°,则直线xcosα-ysinα+1=0与圆
圆(x-cosβ)²+(y+sinβ)²=1的位置关系是?
相切?相交?想离?随α,β的值而定?

答案

圆心为(cosβ,-sinβ)
圆心到直线xcosα-ysinα+1=0距离为
d=|cosαcosβ+sinβsinα+1|/√(cos^2 α+sin^2 α)
=|cos(α-β)|
|a|=2 |b|=3
ab=6(cosαcosβ+sinαsinβ)=6cos(α-β)
ab=|a|*|b|*cos60°=2*3*(1/2)
cos(α-β)=1/2
∴d=1/2