概率论证明题

题目

概率论证明题
对任意世间A,B,证明：|P(AB)-P(A)P(B)|≤1/4.
对任意事件A，证明：|P（AB）—P(A)P(B)|≤ 1/4。
想了很久了也没能证明出来，望哪位给予指教！

答案

设A单独发生的概率为a,B单独发生的概率为b,AB同时发生的概率为c,AB同时不发生的概率为s,则
a+b+c+s=1
P(A)=a+c
P(B)=b+c
P(AB)=c
原式左侧=|c-(a+c)(b+c)|
=|c-ab-ac-bc-c*c|
=|(1-a-b-c)*c-ab|
=|sc-ab|
注意到a+b+c+s=1,abcs全为非负,所以a+b<=1,c+s<=1
由均值不等式得0<=ab<=1/4,0<=cs<1/4
所以-1/4<=sc-ab<=1/4
所以原式左侧=|sc-ab|<=1/4
声明一下不是我做出来的,是我悬赏100分,一个叫幻之皮卡丘的人做的.个人认为是正确的,贴给你参考参考,你钻这样的题学习一定很认真吧,加油!