已知，△ABC中，∠ABC为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE=BD，连接ED并延长交AC于F．求证：AF=CF=DF．

题目

已知，△ABC中，∠ABC为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE=BD，连接ED并延长交AC于F．求证：AF=CF=DF．

答案

证明：如图，∵BE=BD，
∴∠1=∠E，
∴∠ABC=∠1+∠E=2∠1，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠ACB，
∴CF=DF，
∵AD为BC边上的高，
∴∠2+∠3=90°，∠ACB+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴AF=DF，
∴AF=CF=DF．