设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题 ①实数集是封闭集； ②全体虚数组成的集合是封闭集； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则一定有0∈S

题目

设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题
①实数集是封闭集；
②全体虚数组成的集合是封闭集；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则一定有0∈S；
⑤若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，
其中真命题是______．

答案

∵若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，
∴实数集是封闭集，若S为封闭集，则一定有0∈S，
全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，
封闭集不一定是无限集，故③不正确，
若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U不一定是封闭集
综上可知①④正确，
故答案为：①④