设P是三角形ABC内一点（不包括边界）,且向量AP=mAB+nAC(m,n属于R),则m平方+n平方-2m-2n+3的范围是?

题目

设P是三角形ABC内一点（不包括边界）,且向量AP=mAB+nAC(m,n属于R),则m平方+n平方-2m-2n+3的范围是?
答案为（3/2,3)详解

答案

因为P在△ABC内,所以延长AP与BC有交点,所以：
xAP=（1-y）AB+yAC
xmAB+xnAC=（1-y）AB+yAC
→xm=1-y,xn=y
两式相加→x（m+n）=1
因为x＞1,
所以m+n＜1
且m,n都＞0
因为m²+n²-2m-2n+3
=（m-1）²+（n-1）²+1
当m=n=0时,原式有最大值3（开区间）
当m=n=1/2时,原式有最小值3/2（开区间）