设抛物线y^2=2x ,设点A的坐标为(2/3,0),在抛物线上求一点P,使PA的距离最小

题目

设抛物线y^2=2x ,设点A的坐标为(2/3,0),在抛物线上求一点P,使PA的距离最小
在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.

答案

设P(y^2/2,y),1)PA^2=(y^2/2-2/3)^2+y^2=y^4/4+y^2/3+4/9>=4/9,当y=0时取等号,所求点P为(0,0).2)P到直线x-y+3=0的距离d=|y^2/2-y+3|/√2=|(y-1)^2+5|/(2√2）,当y=1时d取最小值（5√2）/4,这时P(1/2,1)....