幂函数求导问题,非常着急,

题目

幂函数求导问题,非常着急,
设y=x^n次方,n为正整数,求y'
记f(x)=x^n
f'(x)=lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx
Δx→0
=lim ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
Δx→0
=lim 1/Δx(x^n+nx^(n-1)*Δx+(n(n-1))/2 * x^(n-2)(Δx)
Δx→0
2+...+(Δx)^n-x^n
不清楚从第二步到第三步怎么来的，最好能有详细说明,不要结果

答案

第一种方法,直接用公式
(x^n)'=nx^(n-1)
第二种方法
(f(x+Δx)-f(x))/Δx =(x+Δx)^n-x^n)/Δx =(n,1)x^(n-1)+(n,2)x^(n-2)Δx+...+Δx^(n-1) (用二项展开) (n,1)代表二项式系数
f'(x)=lim ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
Δx→0
=lim=(n,1)x^(n-1)+(n,2)x^(n-2)Δx+...+Δx^n
=nx^(n-1)