如图,过平行四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠EAF=45°,EC=a,CF=b,求平行四边形ABCD周长

题目

如图,过平行四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠EAF=45°,EC=a,CF=b,求平行四边形ABCD周长

答案

因为 AETGA 垂直于BC于E,AF垂直于CD于F,
所以 角AEC=角AFC=90度,
又因为 角EAF=45度,
所以 角C=135度,
因为 四边形ABCD是平行四边形,AB//DC,
所以 角B+角C=180度,角B=45度,
因为 AE垂直于BC于E,角B=45度,
所以 AE=BE,AB=根号2BE,
同理：AF=FD,AD=根号2DF,
因为 四边形ABCD是平行四边形,
所以 AB=DC,AD=BC,
所以 DC=根号2BE,BC=根号2DF,
因为 BE=BC--EC=BC--a,DF=DC--CF=DC--b,
所以 DC=根号2（BC--a),BC=根号2（DC--b),
即：（根号2）BC--DC=（根号2）a,（1）
（根号2）DC--BC=（根号2）b,（2）
由（1）、（2）可解得：BC=2a+b,DC=2b+a,
所以 平行四边形ABCD的周长=2（BC+AD）=6(a+b).