已知命题P:函数y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真命题,求实数a的取值范围.
题目
已知命题P:函数y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;命题Q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若P∨Q是真命题,求实数a的取值范围.
答案
∵命题P函数y=log
a(1-2x)在定义域上单调递增;
∴0<a<1(3分)
又∵命题Q不等式(a-2)x
2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立;
∴a=2(2分)
或
,(3分)
即-2<a≤2(1分)
∵P∨Q是真命题,
∴a的取值范围是-2<a≤2(5分)
根据对数函数的函数性,复合函数的单调性,我们可以可以得到命题P为真时,实数a的取值范围;根据二次不等式恒成立的条件,我们可以得到命题Q成立时,实数a的取值范围;再根据P∨Q是真命题时,两个命题中至少一个为真,进而可以求出实数a的取值范围.
命题的真假判断与应用.
本题考查的知识点是命题真假判断与应用,其中根据对数函数的函数性,复合函数的单调性,及二次不等式恒成立的条件,判断命题P与Q的真假是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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