∫e^{ax}sin(bx)dx 怎样解呀? 谢谢啦

题目

∫e^{ax}sin(bx)dx 怎样解呀? 谢谢啦

答案

I=积分:e^(ax)sin(bx)dx(分部积分法)
=1/a积分:sin(bx)d(e^(ax))
=1/a*sin(bx)*e^(ax)-1/a积分:e^(ax)d(sinbx)
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a积分:e^(ax)cos(bx)dx
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*积分:cos(bx)d(e^(ax))
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b/a^2积分:e^(ax)d(cos(bx))
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)+b^2/a^2积分:e^(ax)sin(bx)dx
移项得到:
(1-b^2/a^2)I
=e^(ax)sin(bx)/a-b/a^2*e^(ax)cos(bx)
=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/a^2
I=[ae^(ax)sin(bx)-be^(ax)cos(bx)]/(1-b^2)
或者你也可以令
I1=积分:e^(ax)sin(bx)dx
I2=积分:e^(ax)cos(bx)dx
称为对称积分:
建立I1,I2之间的关系,解方程,得到I1