y=e^x上哪一点曲率半径最小

题目

y=e^x上哪一点曲率半径最小
书上答案说是(根号2)/2这一点,不知道是怎么求的

答案

答：
曲率半径公式：
R=(1+y'^2)^(3/2)/|y''|
y=e^x,y'=y''=e^x
所以R=(1+e^(2x))^(3/2)/e^x
要求R的极值,即求R'
R'=3e^x(1+e^(2x))^(1/2)-e^(-x)(1+e^(2x))^(1/2)
令R'=0
化简得：2e^(2x)=1,即x=ln(1/2)/2,此时y=√2/2
所以在点(ln(1/2)/2,√2/2)上曲率半径最小.代入得此时曲率半径R=3√3/2
答案那个是纵坐标.