设函数f(x)=x的平方减2tx加上4t的立方加上t的平方减去3t加上3,将f(x)的最小值记为g(t).求g(t)的表达式和讨论它在区间[-1,1]的单调性.

题目

设函数f(x)=x的平方减2tx加上4t的立方加上t的平方减去3t加上3,将f(x)的最小值记为g(t).求g(t)的表达式和讨论它在区间[-1,1]的单调性.

答案

(1)f(x)=x^2-2tx+4t^3+t^2-3t+3,则
f(x)=(x-t)^2+4t^3-3t+3,此函数图象开口向上,
所以f(x)的最小值为:
g(t)=4t^3-3t+3
(2)令g'(t)=12t^2-3=0,则
t=1/2,或t=-1/2
当t在（－∞,－1／2）∪（1／2,＋∞）时,g'(t)>0,g(t)单增
t在〔－1／2,1／2〕区间上时,g'(t)