Sn=(4*3)+(6*9)+(8*27)+.+(2n+2)*3^n,求Sn.

题目

Sn=(4*3)+(6*9)+(8*27)+.+(2n+2)*3^n,求Sn.
我看了书上写什么分组法、错位相减法、裂项相消法,该怎么用?

答案

因为 Sn=(4*3)+(6*9)+(8*27)+.+(2n+2)*3^n
所以 3Sn=3*(4*3)+3*(6*9)+3*(8*27)+.+3*(2n+2)*3^n
所以 3Sn=(4*9)+(6*27)+(8*81)+.+(2n)*3^n+(2n+2)*3^(n+1)
用3Sn减去Sn,错位相减：相减的时候,用3Sn的第一项减Sn的第二项；用3Sn的第二项减Sn的第三项；用3Sn的第三项减Sn的第四项；…… Sn的第一项用0去减,3Sn的最后一项保留
所以 2Sn= -(4*3) +(-2*9) +(-2*27) +(-2*81) +...+(-2*3^n) +(2n+2)*3^(n+1)
所以 2Sn= -12 -2*(9+27+81+...+3^n) +(2n+2)*3^(n+1)
所以 Sn= -6 -(9+27+81+...+3^n) +(n+1)*3^(n+1)
所以 Sn= -6 -9*[1-3^(n-1)]/(1-3) +(n+1)*3^(n+1)
所以 Sn= -6 +9/2 -3^(n+1)/2 +(n+1)*3^(n+1)
所以 Sn= -3/2 +(n +1/2)*3^(n+1)
检验：
当n=1时,Sn=-3/2 +(3/2)*3^2=12=4*3
当n=2时,Sn=-3/2 +(5/2)*3^3=66=4*3+6*9
当n=3时,Sn=-3/2 +(7/2)*3^4=282=4*3+6*9+8*27
…………