函数f（x）=-x3+x2+tx+t在（-1，1）上是增函数，则t的取值范围是（　　） A.t＞5 B.t＜5 C.t≥5 D.t≤5

题目

函数f（x）=-x³+x²+tx+t在（-1，1）上是增函数，则t的取值范围是（　　）
A. t＞5
B. t＜5
C. t≥5
D. t≤5

答案

f′（x）=-3x²+2x+t，由题意知，要使函数f（x）=-x³+x²+tx+t在（-1，1）上是增函数，则t应满足：

f′(1)≥0 f′(−1)≥0 f(1)＞f(−1)

即：

−3+2+ t≥0 −3−2+t≥0 −1+1+t+t＞1+1−t+t

解得t≥5，故选C．

函数f（x）=-x³+x²+tx+t在（-1，1）上是增函数，所以会得到f′（x）在（-1，1）上应是f′（x）＞0，函数在端点处有定义，所以f′（-1）≥0，f（1）≥0，并且f（1）＞f（-1），这样会得到三个关于t的不等式，解不等式便能求出t的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题用到的一个知识点是：如果一个函数在一个开区间上是单调函数，并且函数在区间端点有定义，那么它在闭区间上也是单调函数，并且单调性和开区间上一致．