如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点F. (1)求证:AB−OF=1/2AC; (2)点A1、点C1分别同时从A、C两点出发,以相同的速度运动相同的时间后

如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点F. (1)求证:AB−OF=1/2AC; (2)点A1、点C1分别同时从A、C两点出发,以相同的速度运动相同的时间后

题目
如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点F.

(1)求证:AB−OF=
1
2
AC
答案
(1)证明:过F作FG⊥AB于G,

∵AF平分∠CAB,FO⊥AC,FG⊥AB,
∴OF=FG,
∵∠AOF=∠AGF=90°,AF=AF,OF=FG,
∴△AOF≌△AGF,
∴AO=AG,
直角三角形BGF中,∠DBA=45°,
∴FG=BG=OF,
∴AB=AG+BG=AO+OF=
1
2
AC+OF,
∴AB-OF=
1
2
AC.
(2)过F1作F1G1⊥A1B,过F1作F1H1⊥BC1,则四边形F1G1BH1是矩形.
同(1)可得EF1=F1G,因此四边形F1G1BH1是正方形.
∴EF1=G1F1=F1H1
即:F1是三角形A1BC1的内心,
∴EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷2…①
∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1,而CC1=A1A,
∴A1B+BC1=2AB,
因此①式可写成:EF1=(2AB-A1C1)÷2,
即AB-EF1=
1
2
A1C1
(3)由(2)得,F1是三角形A1BC1的内心,且E1、G1、H1都是切点.
∴A1E=(A1C1+A1B-BC1)÷2,
如果设CC1=A1A=x,
A1E=[A1C1+(AB+x)-(AB-x)]÷2=(10+2x)÷2=6,
∴x=1,
在直角三角形A1BC1中,根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12
即:(AB+1)2+(AB-1)2=100,
解得AB=7,
∴BD=7
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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