如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：∠EBF=∠FDE．

题目

如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：∠EBF=∠FDE．

答案

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD （平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△ABE和△CDF中，

AE＝CF ∠BAE＝∠DCF AB＝CD

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）连接BD交AC于O点．
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．
又∵AE=CF（已知），
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形 （对角线互相平分的四边形为平行四边形），
∴∠EBF=∠EDF（平行四边形的对角相等）．

（1）根据平行四边形ABCD的性质（平行四边形的对边平行且相等）、平行线的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）连接BD交AC于O点．根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证得四边形BEDF是平行四边形，然后由“平行四边形的对角相等”的性质推知∠EBF=∠EDF．

本题考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．