△ABC一边AB固定,顶点C在一条平行于AB的定直线l上移动,设△ABC的垂心在三角形内,求垂心的轨迹方程

题目

△ABC一边AB固定,顶点C在一条平行于AB的定直线l上移动,设△ABC的垂心在三角形内,求垂心的轨迹方程

答案

建立直角坐标系,把AB放在x轴上,且关于原点对称,设A（a,0),B(-a,0),因为C在y=b上移动,可设C点坐标为（x1,b）,则可由“两点式”求出AC的方程,整理后为：y=bx/（x1+2）+2b/（x1+2）,
设BD垂直AC于D,CE垂直AB（即x轴）于E,BD、CE交于P,P即垂心
因为BD垂直AC,所以直线BD的斜率K满足,K×b/（x1+2）=-1,解出K=-（x1+2）/b,再根据B点坐标,求出BD方程,整理得到：by=（-x1+2）x+2x+b+1,CE的方程为x=x1,这两个方程联列,消去x1,得到y=（b+1- x的平方）/b,所以是抛物线.