设B为可逆方阵的特征值,求证B-1/A/为A*的特征值

题目

设B为可逆方阵的特征值,求证B-1/A/为A*的特征值

答案

设b为可逆方阵A的特征值,求证b^-1|A| 为A*的特征值
是这样吧
由已知,存在非零向量 α 满足 Aα=bα.
两边左乘A* 得
A*Aα = bA*α
所以 |A|α = b A*α.
由A可逆,b不等于0
所以 A*α = b^-1|A| α.
所以 b^-1|A| 是A*的特征值,α 是A*的属于特征值b^-1|A|的特征向量.