已知f(n)=sinnπ/4,n∈Z⑴求证：f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16) ⑵求f(1)+f(2)+…+f(2003)的值

题目

已知f(n)=sinnπ/4,n∈Z⑴求证：f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16) ⑵求f(1)+f(2)+…+f(2003)的值

答案

sin(2kπ+α)=sin α k是整数 sin α的函数周期为2π
已知f(n)=sinnπ/4 所以 函数周期为 2π / π/4 = 8
所以 f(1) = f(9)= sinπ/4 f(2) = f(10) 一直到 f(8)=f(16)
第二问 通过第一问你发现了f(n)=sinnπ/4 随着n的增长,其实是个周期为8的函数
f(1)+f(2)+…+f(8)= 0
(1)+f(2)+…+f(2003）= 0+f(2001）+f(2002）+f(2003）= f(1）+f(2）+f(3）= 1+根号2