已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝(sinB，1−cosB)与向量n＝(2，0)夹角的余弦角为1/2． （1）求角B的大小； （2）求sinA+sinC的取值范围．

题目

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量

m

＝(sinB，1−cosB)与向量

n

＝(2，0)夹角的余弦角为

1

2

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵m=（sinB，1-cosB），n=（2，0），∴cos＜m，n＞＝m•n|m|•|n|＝12.（2分）即2sinB22−2cosB＝12.∴2cos2B-cosB-1=0．解得cosB＝−12或cosB＝1（舍）∵0＜B＜π∴B＝2π3.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A+C＝π...

本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，及三角函数的最值，
（1）由向量

m

＝(sinB，1−cosB)与向量

n

＝(2，0)夹角的余弦角为

1

2

．我们可以构造一个关于角B的三角方程，解方程后，根据B为△ABC的内角，易得到角B的大小．
（2）根据（1）的结论，我们可以将sinA+sinC中C角消掉，得到一个关于A角的正弦型函数，再由0＜A＜

π

3

结合正弦型函数的性质，易得sinA+sinC的取值范围．

本题考点：数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．

考点点评：cosθ=

a • b

| a |•| b |

这是由向量的数量积表示夹角一唯一公式，也是利用向量求角的唯一公式，希望大家牢固掌握，熟练应用．