a的平方等于2,怎么证a为无理数

题目

a的平方等于2,怎么证a为无理数

答案

用反证法
证明：设a为有理数,就一定可以表示为即约分数.
不妨设a=q/p,p、q∈N*,p,q互质（没有公因子）
则2=a²=(q/p)²,∴q²=2p²----(1)
于是q是2的倍数,设q=2t,代入(1)式得
p²=2t²
因此p也是2的倍数.
“p、q都是2的倍数”与“p,q互质”矛盾,
所以a为无理数