已知抛物线y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是A,抛物线y=x2-2x+1的顶点是B.(1)判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?(2)如果抛物线y=a(x

已知抛物线y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是A,抛物线y=x2-2x+1的顶点是B.(1)判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?(2)如果抛物线y=a(x

题目
已知抛物线y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是A,抛作业帮物线y=x2-2x+1的顶点是B.
(1)判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?
(2)如果抛物线y=a(x-t-1)2+t2经过点B,
①求a的值;
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
答案
(1)由题意可知:A点的坐标为(t+1,t2),将A点的坐标代入抛物线y=x2-2x+1中可得:(t+1)2-2(t+1)+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2
因此A点在抛物线y=x2-2x+1上.
(2)①由题意可知:B点坐标为(1,0).则有:
0=a(1-t-1)2+t2,即at2+t2=0,因此a=-1.
②根据①可知:抛物线的解析式为y=-(x-t-1)2+t2
当y=0时,-(x-t-1)2+t2=0,解得x=1或x=2t+1
设抛物线与x轴的交点为M,N,那么M点的坐标为(1,0),N点的坐标为(2t+1,0)
因此:AM2=t2+t4,AN2=t2+t4,MN2=4t2
当△AMN是直角三角形时,AM2+AN2=MN2
即(t2+t4)×2=4t2
解得t1=1或t2=-1
因此能构成直角三角形,此时t的值为1或-1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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