已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F， 求证：EF=FD．

题目

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，
求证：EF=FD．

答案

证明：过E作EG丄AB于G，如图，
∵△ABE为等边三角形，
∴BG=

1

2

AB，∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，AE=AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∴AG=BC，
在Rt△EAG和Rt△ABC中

AE＝AB AG＝BC

，
∴Rt△EAG≌Rt△ABC（HL），
∴EG=AC，
∵△DAC为等边三角形，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
∴EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°，
在Rt△EFG和Rt△DFA中

EG＝DA ∠EFG＝∠DFA ∠EGF＝∠DAF

，
∴△EFG≌△DFA，
∴EF=FD．

过E作EG丄AB于G，由△ABE为等边三角形得到BG=

1

2

AB，∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，AE=AB，Rt△ABC中根据30°所对的边等于斜边的一半得到BC=

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2

AB，则AG=BC，然后根据直角三角形全等的判定方法得到Rt△EAG≌Rt△ABC（HL），则EG=AC；再由△DAC为等边三角形，则AC=AD，∠DAC=60°，可得到EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°，根据全等三角形的判定方法可证得△EFG≌△DFA，可有EF=FD．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质．