已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点坐标为(0,3),离心率为1/2.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设P为椭圆上一点,A为左顶点,F为椭圆的右焦点,求AP•FP的取值范围.
题目
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的上顶点坐标为(0,
),离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,A为左顶点,F为椭圆的右焦点,求
•
的取值范围.
答案
(1)设椭圆C的方程为
+=1(a>b>0),
由已知
b=, =,
所以
a=2, b=, c=1,
得椭圆的方程为
+=1.
(Ⅱ)设P(x,y),
又A(-2,0),F(1,0),则
=(-2-x,-y),=(1-x,-y),
∴
•=(-2-x,-y)•(1-x,-y)=(x+2)(x-1)+y2=
x2+x-2+y2=x2+x+1(-2≤x≤2).
当x=0时,取得最小值0,当x=2时,取得最大值4,
∴
•∈[0,4] (I)根据已知条件分别求出a,b,c的值,从而确定椭圆方程.
(II)根据题意,设P(x,y)根据椭圆的方程,易得A
1、F
2的坐标,将其代入
•中,可得关于x、y的关系式,结合双曲线的方程,可得
•=
x
2+x+1,由x的范围,可得答案.
椭圆的标准方程;二次函数在闭区间上的最值;平面向量数量积的运算.
本题考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等,涉及最值问题.最值问题解题的思路是先设出变量,表示出要求的表达式,结合圆锥曲线的方程,将其转化为只含一个变量的关系式,进而由不等式的性质或函数的最值进行计算.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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