如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F. (1)求证:EF+1/2AC=AB; (2)点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动(不与点B重合),同时点A
题目
如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F.
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(1)求证:EF+
答案
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(1)证明:如图1,过点F作FM⊥AB于点M,在正方形ABCD中,AC⊥BD于点E.
∴AE=
AC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵AF平分∠BAC,
∴EF=MF,
又∵AF=AF,
∴Rt△AMF≌Rt△AEF,
∴AE=AM,
∵∠MFB=∠ABF=45°,
∴MF=MB,MB=EF,
∴EF+
AC=MB+AE=MB+AM=AB.
(2)E
1F
1,
A
1C
1与AB三者之间的数量关系:E
1F
1+
A
1C
1=AB
证明:如图2,连接F
1C
1,过点F
1作F
1P⊥A
1B于点P,F
1Q⊥BC于点Q,
∵A
1F
1平分∠BA
1C
1,∴E
1F
1=PF
1;同理QF
1=PF
1,∴E
1F
1=PF
1=QF
1,
又∵A
1F
1=A
1F
1,∴Rt△A
1E
1F
1≌Rt△A
1PF
1,
∴A
1E
1=A
1P,
同理Rt△QF
1C
1≌Rt△E
1F
1C
1,
∴C
1Q=C
1E
1,
由题意:A
1A=C
1C,
∴A
1B+BC
1=AB+A
1A+BC-C
1C=AB+BC=2AB,
∵PB=PF
1=QF
1=QB,
∴A
1B+BC
1=A
1P+PB+QB+C
1Q=A
1P+C
1Q+2E
1F
1,
即2AB=A
1E
1+C
1E
1+2E
1F
1=A
1C
1+2E
1F
1,
∴E
1F
1+
A
1C
1=AB.
(3)设PB=x,则QB=x,
∵A
1E
1=3,QC
1=C
1E
1=2,
Rt△A
1BC
1中,A
1B
2+BC
12=A
1C
12,
即(3+x)
2+(2+x)
2=5
2,
∴x
1=1,x
2=-6(舍去),
∴PB=1,
∴E
1F
1=1,
又∵A
1C
1=5,
由(2)的结论:E
1F
1+
A
1C
1=AB,
∴AB=
,
∴BD=
举一反三
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